نوشته‌ی حاضر مقاله‌ای است با همین عنوان از دکتر محمد صال مصلحیان، استاد ریاضی دانشگاه فردوسی، که در آن با زبان طنز دوره‌ی دکتری در برخی از دانشگاه‌های ایران را نقد کرده است. این مقاله را سالها پیش خوانده بودم، اما به نظرم ارزش بارها خواندن (و البته توجه) را دارد.
سالها پیش مقاله‌ای خوانده بودم تحت عنوان درسی در بد درس دادن» که در آن نویسنده تلاش نموده بود به معلمان بگوید چه کارهایی نباید در کلاس درس انجام دهند. همان داستان لقمان حکیم که او را گفتند: ادب از که آموختی؟» گفت: از بی‌ادبان که هرچه از ایشان در نظرم ناپسند آمد از فعل آن پرهیز کردم». این داستان تخیلی با الهام از همان مقاله، بر اساس تجربه دانشجویان دکتری در دانشگاه‌های مختلف کشورهای گوناگون و به صورت برگ‌هایی از خاطرات روزانه یک دانشجوی دکتری به نام هیچکس ابن هیچکس در دانشگاهی در ناکجاآباد به رشته تحریر در آمده است.
آزمون دکتری
امروز هوا بهاری بود. برای مصاحبه‌ی آزمون دکتری به دانشگاه ناکجاآباد آمده بودم. محیط دانشگاه برایم غریب بود. تنها چیز آشنایی که در اطرافم به چشم می‌خورد، شکوفه‌های درختان و گل‌های رنگارنگی بود که دانشگاه را تزیین و آن را برای گفتگوهای دوستانه‌ی دانشجویان باصفا کرده بود. انگار همه گل‌های دنیا مثل هم هستند و برای همین بود که به نظر غریبه نمی‌آمدند. از همه‌ی داوطلبان خواسته بودند ساعت هشت صبح در دانشکده حضور یابند. عده‌ی زیادی، از دور و نزدیک، آمده بودند. ساعت یک ظهر شده بود و دل تو‌ی دلم نبود. کاش همچون مطب پزشکان وقت قبلی داده بودند. در راهرو و نزدیک اتاقی که مصاحبه در آن انجام می‌شد ایستاده بودم. گاهی چند قدم از اتاق دور می‌شدم ولی با این دلهره که ممکن است مرا برای مصاحبه فرابخوانند بی‌درنگ برمی‌گشتم. هر داوطلبی که از اتاق مصاحبه بیرون می‌آمد، بقیه دور او جمع می‌شدند و می‌پرسیدند که مصاحبه چطور بود. همه کم و بیش می گفتند: خوب بود. سؤالها هم خوب بود و .» و بعد آهسته و گیج از دانشکده بیرون می‌رفتند؛ بی آن که فرصتی دست دهد تا برای ما "خوب" را تعریف کنند.
بالأخره انتظار تمام شد و مرا صدا زدند. وارد اتاق شدم. پنج تن از اساتید ممتحن پشت میز رنگ و رو رفته‌ای نشسته بودند و پرونده ام را که شامل ریز نمرات دوران تحصیلات دانشگاهی‌ام، زندگینامه علمی و چند توصیه‌نامه بود ورق می‌زدند. بعضی از آنها نیز مرا برانداز می‌کردند. برای یک لحظه حس کردم کوزه‌ای سفالی متعلق به هزاره‌های پیشینم که در پشت ویترین یک عتیقه فروشی قرار گرفته‌ام و چند باستان‌شناس مرا با ذره‌بین نظاره می‌کنند. از من دو سؤال علمی پرسیدند که نتوانستم جواب دهم. سپس راجع به این که آیا ازدواج کرده‌ام، شغلی دارم، کدام استادان دانشکده را از قبل می‌شناسم، نظر من راجع به دانشگاه آنها چیست، آیا قصد ادامه تحصیل در خارج از ناکجاآباد دارم و . پرسیدند که البته، مثل دایی جان خدا بیامرزم که آدم خوشبینی بود، با دیدی مثبت به آنها پاسخ دادم. از من پرسیدند که تو دوست داری چه گرایشی بخوانی. مِن و مِنی کردم و گفتم: اول آنچه شما صلاح بدانید و دوم گرایش دوره ارشدم؛ چرا که مطمئناً شما بهتر می‌توانید استعداد مرا شناسایی کنید. ناخودآگاه یاد حکایت بادمجان و ناصرالدین شاه افتادم. سؤال کردند با چه کسی دوست داری کار کنی. گفتم: این افتخاری برای من است که با یکی از اعضای هیئت علمی این دانشگاه کار کنم و برایم مهم نیست این فرد چه کسی باشد. حتماً همه خوبند که دانشگاه به آنها اجازه پذیرش دانشجو داده است. پرسیدند آیا دوست داری جایی در خارج از ناکجاآباد درس بخوانی؟ گفتم: خیر، زیرا یکی از استادان می‌گوید که اینجا از خیلی از دانشگاه‌های ینگه دنیا بهتر است. از طرف دیگر، چرا باید مغزمان را در اختیار خارجی‌ها بگذاریم؟ . گویا آنها از پاسخ‌های من خیلی خوششان آمده بود، زیرا یکی از دوستانم که از نظر علمی در همه چیز بر من سر بود را انتخاب نکردند و در عوض مرا برگزیدند.
ترم اول
بامداد نسیم خنکی می‌وزید. کلاس ساعت هشت صبح شروع شد. من و سه دانشجوی دکتری دیگر در کلاس نشسته بودیم. استاد مثل همیشه بسیار شیک، با لباس‌های اتو زده و کفش‌های واکس زده، سر وقت به کلاس وارد شد و پشت تریبون نشست و شروع به تدریس کرد. مشهور است که مقالات او را دانشجویانش می‌نویسند و خودش نه تنها از محتوای آنها خبر ندارد بلکه نمی‌تواند حتی یک کلمه از عنوان یکی از مقالاتش را بگوید. از همان‌هایی که خودش هیچ کار پژوهشی نمی‌کند، ولی مدام از کارهای تحقیقی دیگران ایراد می‌گیرد. دانشجوها می‌گویند که او دیگر عتیقه شده است، اما نظر من این است که او عتیقه شناس است و دانشجویان نخبه‌ای که مقاله‌های خوب و زیادی می‌نویسند را در تور می‌اندازد!
چند دقیقه‌ای نگذشته بود که دوستم به من نزدیک شد و در گوشم گفت: من این مطلب را سه بار دیگر از همین استاد شنیده ام. یک بار در سال آخر کارشناسی و دو بار هم در دو درس کارشناسی ارشد» و هر دو با هم پوزخندی زدیم. دوستم گفت: باید کاری کنم و حالِ او را بگیرم.» هنوز سخنش تمام نشده بود که دستش را بلند کرد و سؤالی جدی از استاد پرسید. استاد از جایش بلند شد، چند قدم جلو رفت، دوباره برگشت، عینکش را با انگشت سبابه به چشمانش چسباند، دستش را در جیب شلوارش فرو برد و رو به من کرد و گفت: شما چه فکر می‌کنید؟» و آب دهانش را قورت داد. مضطرب شدم و با لکنت گفتم: نمی‌دانم استاد.» گفت: ندانستن مهم نیست. این که هیچ تلاشی برای یافتن جواب نکنید بد است. دانشجو باید دائم در حال کار باشد. همه‌ی شما به عنوان پروژه کلاسی تا هفته‌ی دیگر فرصت دارید که جواب آن را تایپ شده به من تحویل دهید.» همین طور که صحبت می‌کرد جدی‌تر می‌شد و به تدریج باورش می‌شد که یک عالِم دهر است. گفت: نمره‌ای هم برای آن در نظر می‌گیرم. راستی آیا مسائل جلسه‌ی قبل را حل کرده‌اید؟» سخنش تمام نشده بود که هر یک از ما همانطور که دهانمان از تعجب باز مانده بود، حل مسائل خود را به وی تحویل دادیم. اما می‌دانستیم که آنها را تصحیح نکرده و نخوانده در سطل بازیافت کاغذهای اتاقش می‌اندازد. در ادامه با ژستی حق به جانب به پشت تریبون برگشت و جزوه‌گویی خود را دنبال کرد. ما هم شروع به نوشتن کردیم، جزوه‌ای که بوی کهنگی می‌داد چرا که مربوط به چندین سال پیش بود؛ زمانی که خودش به عنوان دانشجو آن را می‌خواند. همه به دوستم چپ چپ نگاه کردیم. از بغل به او تنه‌ای زدم و گفتم: چه کارش داشتی!» گفت: نمی‌دانم به این آدم بی‌سواد چه طوری مدرک دکتری (و بدتر از آن دانشجوی دکتری) داده‌اند. مطمئنم که دکترایش قلابی است!» نمی‌دانم چرا به یاد دایی جان خدابیامرزم افتادم. اصلاً این درس خواندن در دوره دکتری باعث شده بود که من مدام از آن خدابیامرز یاد کنم. دوست نداشتم فکر کنم که استادم بی‌سواد است. دوست داشتم به همه چیز با دید مثبت نگاه کنم. به قول قدیمی‌ها بچه‌ی حلال‌زاده به داییش می‌رود. حالا دیگر به ضرب‌المثل‌ها هم شک کرده بودم!
ادامه مطلب
صورت مسئله: فرض کنید که $A$ یک ماتریس $5\times5$ وارون‌پذیر با درایه‌های حقیقی مثبت باشد. در این صورت $A^{-1}$ حداکثر می‌تواند چند درایه‌ی صفر داشته باشد؟
1) 18
2) 17
3) 15
4) 16
این مسئله، سؤال 50 از آزمون کارشناسی ارشد رشته‌ی علوم کامپیوتر سال 1396 است.
پاسخ: گزینه‌ی 3 صحیح است. فرض کنید که $A^{-1}$ بیش از 15 درایه‌ی صفر داشته باشد. پس حداقل 16 درایه‌ی صفر دارد. چون $A^{-1}$ پنج سطر دارد، پس طبق اصل لانه کبوتری، سطری از $A^{-1}$ وجود دارد که دارای بیش از 3 درایه‌ی صفر است. بدون کاستن از کلیت، فرض کنید که مثلاً سطر اول $A^{-1}$ دارای چهار صفر باشد و اولین درایه‌ی این سطر، غیر صفر است. چون $A^{-1}A=I$، بنابراین یک تساوی به شکل زیر وجود دارد:$$
\begin{bmatrix}1/a & 0 &0&0&0\\*&*&*&*&*\\*&*&*&*&*\\*&*&*&*&*\\*&*&*&*&* \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b &c&d&e\\f&g&h&i&j\\k&l&m&n&o\\p&q&r&s&t\\u&v&w&x&y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 &0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1 \end{bmatrix}$$
که در آن اولین ماتریس در سمت چپ تساوی، $A^{-1}$ و دومی $A$ است. در این صورت از حاصل ضرب سطر اول $A^{-1}$ در ستون دوم $A$ و برابر قرار دادن طرفین خواهیم داشت:$$\frac{1}{a}\times b=0.$$اما طبق فرض، تمام درایه‌های $A$ یعنی $a,b,.$ اعداد حقیقی مثبت هستند. بنابراین $1/a$ نیز عددی مثبت است. یعنی ضرب دو عدد مثبت $1/a$ و $b$ صفر شده، که یک تناقض است. بنابراین $A^{-1}$ نمی‌تواند بیش از 15 درایه‌ی صفر داشته باشد.
از حل این مسئله، خاطره‌ی خوبی دارم. سال‌های قبل یک گروه تلگرام برای داوطلبان آزمون دکتری ریاضی تشکیل داده بودیم که در آن به حل و بحث سوالات ریاضی می‌پرداختیم و بحث‌های علمی خیلی خوبی هم در آنها مطرح می‌شد. پس از آن که حل این مسئله را در گروه قرار دادم، یکی از دوستان این سؤال را مطرح کرد که آیا می‌توان ماتریسی با درایه‌های حقیقی مثبت مثال زد که وارون آن دقیقاً 15 درایه‌ی صفر داشته باشد؟ پاسخ این سؤال مثبت است. یادم می‌آید که همان شب برای یافتن چنین ماتریسی تا دیر وقت بیدار ماندم و به کمک نرم افزار Matlab و امتحان کردن ماتریس‌های مختلف، بالأخره توانستم به جواب برسم. روشم برای یافتن این ماتریس به این صورت بود که با یک ماتریس که دقیقاً 10 درایه‌ی غیر صفر داشت، شروع می‌کردم و پس از محاسبه‌ی وارون آن بررسی می‌کردم که آیا تمام درایه‌های آن مثبتند یا خیر. بعد از آزمون و خطاهای فراوان، بالأخره به این نتیجه رسیدم که اگر درایه‌های روی قطر را منفی انتخاب کنم و درایه‌های یک قطر بالای قطر اصلی و همچنین اولین درایه‌ی سطر آخر را مثبت قرار دهم و سایر درایه‌ها صفر باشند، آنگاه تمام درایه‌های ماتریس وارون، مثبت خواهند شد:
>> format rat
>> B=[-1 2 0 0 0; 0 -1 2 0 0; 0 0 -1 2 0; 0 0 0 -1 2; 2 0 0 0 -1]
B =
-1 2 0 0 0
0 -1 2 0 0
0 0 -1 2 0
0 0 0 -1 2
2 0 0 0 -1
>> A=inv(B)
A =
1/31 2/31 4/31 8/31 16/31
16/31 1/31 2/31 4/31 8/31
8/31 16/31 1/31 2/31 4/31
4/31 8/31 16/31 1/31 2/31
2/31 4/31 8/31 16/31 1/31
>> format rat
>> B=[-1 1 0 0 0; 0 -1 2 0 0; 0 0 -1 3 0; 0 0 0 -1 4; 5 0 0 0 -1]
B =
-1 1 0 0 0
0 -1 2 0 0
0 0 -1 3 0
0 0 0 -1 4
5 0 0 0 -1
>> A=inv(B)
A =
1/119 1/119 2/119 6/119 24/119
120/119 1/119 2/119 6/119 24/119
60/119 60/119 1/119 3/119 12/119
20/119 20/119 40/119 1/119 4/119
5/119 5/119 10/119 30/119 1/119
>> format rat
>> B=[-1 6 0 0 0; 0 -2 7 0 0; 0 0 -3 8 0; 0 0 0 -4 9; 10 0 0 0 -5]
B =
-1 6 0 0 0
0 -2 7 0 0
0 0 -3 8 0
0 0 0 -4 9
10 0 0 0 -5
>> A=inv(B)
A =
1/251 3/251 7/251 14/251 126/1255
42/251 1/502 7/1506 7/753 21/1255
12/251 36/251 1/753 2/753 6/1255
9/502 27/502 63/502 1/1004 9/5020
2/251 6/251 14/251 28/251 1/1255
صورت مسئله: فرض کنید که $A$ یک ماتریس $5\times5$ وارون‌پذیر با درایه‌های حقیقی مثبت باشد. در این صورت $A^{-1}$ حداکثر می‌تواند چند درایه‌ی صفر داشته باشد؟
1) 18
2) 17
3) 15
4) 16
این مسئله، سؤال 50 از آزمون کارشناسی ارشد رشته‌ی علوم کامپیوتر سال 1396 است.
پاسخ: گزینه‌ی 3 صحیح است. فرض کنید که $A^{-1}$ بیش از 15 درایه‌ی صفر داشته باشد. پس حداقل 16 درایه‌ی صفر دارد. چون $A^{-1}$ پنج سطر دارد، پس طبق اصل لانه کبوتری، سطری از $A^{-1}$ وجود دارد که دارای بیش از 3 درایه‌ی صفر است. بدون کاستن از کلیت، فرض کنید که مثلاً سطر اول $A^{-1}$ دارای چهار صفر باشد و اولین درایه‌ی این سطر، غیر صفر است. چون $A^{-1}A=I$، بنابراین یک تساوی به شکل زیر وجود دارد:$$
\begin{bmatrix}1/a & 0 &0&0&0\\*&*&*&*&*\\*&*&*&*&*\\*&*&*&*&*\\*&*&*&*&* \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b &c&d&e\\f&g&h&i&j\\k&l&m&n&o\\p&q&r&s&t\\u&v&w&x&y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 &0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1 \end{bmatrix}$$
که در آن اولین ماتریس در سمت چپ تساوی، $A^{-1}$ و دومی $A$ است. در این صورت از حاصل ضرب سطر اول $A^{-1}$ در ستون دوم $A$ و برابر قرار دادن طرفین خواهیم داشت:$$\frac{1}{a}\times b=0.$$اما طبق فرض، تمام درایه‌های $A$ یعنی $a,b,.$ اعداد حقیقی مثبت هستند. بنابراین $1/a$ نیز عددی مثبت است. یعنی ضرب دو عدد مثبت $1/a$ و $b$ صفر شده، که یک تناقض است. بنابراین $A^{-1}$ نمی‌تواند بیش از 15 درایه‌ی صفر داشته باشد.
از حل این مسئله، خاطره‌ی خوبی دارم. سال‌های قبل یک گروه تلگرام برای داوطلبان آزمون دکتری ریاضی تشکیل داده بودیم که در آن به حل و بحث سوالات ریاضی می‌پرداختیم و بحث‌های علمی خیلی خوبی هم در آن مطرح می‌شد. پس از آن که حل این مسئله را در گروه قرار دادم، یکی از دوستان این سؤال را مطرح کرد که آیا می‌توان ماتریسی با درایه‌های حقیقی مثبت مثال زد که وارون آن دقیقاً 15 درایه‌ی صفر داشته باشد؟ پاسخ این سؤال مثبت است. یادم می‌آید که همان شب برای یافتن چنین ماتریسی تا دیر وقت بیدار ماندم و به کمک نرم افزار Matlab و امتحان کردن ماتریس‌های مختلف، بالأخره توانستم به جواب برسم. روشم برای یافتن این ماتریس به این صورت بود که با یک ماتریس که دقیقاً 10 درایه‌ی غیر صفر داشت، شروع می‌کردم و پس از محاسبه‌ی وارون آن بررسی می‌کردم که آیا تمام درایه‌های آن مثبتند یا خیر. بعد از آزمون و خطاهای فراوان، بالأخره به این نتیجه رسیدم که اگر درایه‌های روی قطر را منفی انتخاب کنم و درایه‌های یک قطر بالای قطر اصلی و همچنین اولین درایه‌ی سطر آخر را مثبت قرار دهم و سایر درایه‌ها صفر باشند، آنگاه تمام درایه‌های ماتریس وارون، مثبت خواهند شد:
>> format rat
>> B=[-1 2 0 0 0; 0 -1 2 0 0; 0 0 -1 2 0; 0 0 0 -1 2; 2 0 0 0 -1]
B =
-1 2 0 0 0
0 -1 2 0 0
0 0 -1 2 0
0 0 0 -1 2
2 0 0 0 -1
>> A=inv(B)
A =
1/31 2/31 4/31 8/31 16/31
16/31 1/31 2/31 4/31 8/31
8/31 16/31 1/31 2/31 4/31
4/31 8/31 16/31 1/31 2/31
2/31 4/31 8/31 16/31 1/31
>> format rat
>> B=[-1 1 0 0 0; 0 -1 2 0 0; 0 0 -1 3 0; 0 0 0 -1 4; 5 0 0 0 -1]
B =
-1 1 0 0 0
0 -1 2 0 0
0 0 -1 3 0
0 0 0 -1 4
5 0 0 0 -1
>> A=inv(B)
A =
1/119 1/119 2/119 6/119 24/119
120/119 1/119 2/119 6/119 24/119
60/119 60/119 1/119 3/119 12/119
20/119 20/119 40/119 1/119 4/119
5/119 5/119 10/119 30/119 1/119
>> format rat
>> B=[-1 6 0 0 0; 0 -2 7 0 0; 0 0 -3 8 0; 0 0 0 -4 9; 10 0 0 0 -5]
B =
-1 6 0 0 0
0 -2 7 0 0
0 0 -3 8 0
0 0 0 -4 9
10 0 0 0 -5
>> A=inv(B)
A =
1/251 3/251 7/251 14/251 126/1255
42/251 1/502 7/1506 7/753 21/1255
12/251 36/251 1/753 2/753 6/1255
9/502 27/502 63/502 1/1004 9/5020
2/251 6/251 14/251 28/251 1/1255
اعداد زیر همگی عدد اول هستند:
$$17~57~09,\\
17~57~57~09,\\
17~57~57~57~09,\\
17~57~57~57~57~09,\\
17~57~57~57~57~57~09,\\
17~57~57~57~57~57~57~09,\\
17~57~57~57~57~57~57~57~09.$$
درباره این سایت